Математично, крива контактної мережі є графік функції гіперболічного косинуса. Поверхня обертання контактної кривої, катеноїд, є мінімальною поверхнею, зокрема мінімальною поверхнею обертання. Висячий ланцюг матиме форму з найменшою потенційною енергією, яка є контактною ланцюгом.
Асимптоти гіперболи є лінії, що проходять через центр гіперболи. Гіпербола стає все ближче і ближче до асимптот, але ніколи їх не досягає. Кожна гіпербола має дві асимптоти, які перетинають центр гіпербол.
Точніше, крива в площині xy такого ланцюга, підвішеного на однакових висотах на своїх кінцях і опускаючись при x = 0 до найнижчої висоти y = a, визначається рівнянням y = (a/2)(ex/a + e−x/a). Його також можна виразити через функцію гіперболічного косинуса як y = a cosh(x/a).
Довжина дуги=∫ba√1+[f′(x)]2dx.
Міст Золоті Ворота в Сан-Франциско, Каліфорнія, є підвісний міст контактної мережі, яка зовні дуже схожа на параболу. Кабелі основного прольоту підвішені між двома вежами, розташованими на відстані 4200 футів одна від одної та на висоті 500 футів над проїжджою частиною.
Гіперболічна спіраль — це тип спіралі з кутом нахилу, що збільшується з віддаленням від її центру, на відміну від постійних кутів логарифмічних спіралей або кутів зменшення архімедових спіралей. Коли ця крива розширюється, вона наближається до асимптотичної лінії.
Гаразд, тепер наступне, як ми збираємося знайти v. Отже, для еліпса.