Урок 45. Складені задачі на знаходження частини від числа
Розділ ІІ. Величини. Частини величини

Мета: формувати вміння розв’язувати задачі.

Дидактична задача: удосконалювати обчислювальні навички табличного множення та ділення; актуалізувати розуміння риски дробу як знака ділення; вміння розв’язувати прості задачі на знаходження частини від числа, на знаходження числа за величиною його частини; формувати вміння розв’язувати складені задачі, що містять знаходження частини від числа шляхом зіставлення простої задачі на знаходження частини від числа та складеної задачі, що є її продовженням, досліджувати вплив зміни на розв’язування задачі; закріплювати уявлення про порівняння частин на основі залежності величини частини від її знаменника; формувати вміння застосовувати залежність значення добутку від зміни одного з множників, розв’язувати прості та ускладнені рівняння.

Розвивальна задача: формувати прийоми аналізу, синтезу (під час виконання завдань № 2-4); розвивати функціональне мислення (в ході виконання завдання № 6); розвивати варіативне мислення в ході роботи з «магічними» квадратами.

І. Мотивація навчально-пізнавальної діяльності учнів

Ви вже знаєте, що дроби були відомі ще у Стародавньому Єгипті, Стародавній Греції та Стародавньому Китаї. Досліджували дроби і в Індії. Саме індійські математики використовували такий запис дробів, як і ми зараз, але без риски дробу, і весь дріб брали у прямокутну рамку.

У серединні віки араби теж користувалися індійською формою запису дробів — знаменник писали під чисельником, але наприкінці ХІІ — на початку ХІІІ століття вони почали відділяти чисельник від знаменника рискою дробу.

Відомості про дроби з’явилися у Західній Європі завдяки італійським купцям і вченому Леонардо Фібоначчі з Пізи (ХІІІ ст.). Саме він увів термін «дріб» і використовував сучасну форму запису дробів, відділяючи чисельник від знаменника рискою дробу. Терміни «чисельник» і «знаменник» було запроваджено у XII столітті грецьким монахом Максимом Планудом.

Як ви вже переконалися, що ми зараз користуємося знаннями, які накопичило людство ще за часів стародавніх цивілізацій. Попереду у вас ще довгий шлях вивчення дробів у 4-6 класах. А зараз, щоб досягти успіху в подальшому навчанні, ви маєте добре засвоїти дроби з чисельником 1 — частини, та відповідні правила роботи з ними — правило знаходження частини від цілого та знаходження цілого за величиною його частини. Саме ці правила використовуються у розв’язуванні задач, які ми розглянемо сьогодні на уроці.

II. Актуалізація опорних знань та способів дії

(Питання, використані в усному опитуванні на уроці 42, див. с. )

Додаткові питання. Сформулюйте правило знаходження цілого за величиною його частини.

– На що слід звертати увагу при порівнянні дробів?

– Як залежить величина частини від її знаменника? Наведіть приклади.

– Як зміниться значення суми, якщо один доданок збільшиться на 4, а інший залишиться сталим? Як зміниться значення суми, якщо один із доданків зменшиться на 5, а інший залишиться сталим?

– Як зміниться значення добутку, якщо один із множників збільшиться у 3 рази, а інший залишиться сталим? Як зміниться значення добутку, якщо один із множників зменшиться у 2 рази, а інший залишиться сталим?

– Як зміниться значення різниці, якщо зменшуване збільшиться (зменшиться) на 6 одиниць, а від’ємник залишиться сталим? Як зміниться значення різниці, якщо від’ємник збільшиться (зменшиться) на 7 одиниць, а зменшуване залишиться сталим?

Актуалізація розуміння риски дробу як знака ділення

3. Виконання завдання № 1 з коментованим письмом.

Коментар. 1/4 — щоб одержати чверть, треба ціле поділити на 4 рівних частини і взяти одну з них. 1/4 = 1 : 4.

1) Знайдіть 1/8 від числа 56.

2) Знайдіть число, якщо його 1/6 дорівнює 4.

3) У кравчині було 12 м тканини. На костюм вона витратила 1/4 всієї тканини. Скільки метрів пішло на костюм?

4) 1/5 кавуна важить 2 кг. Скільки кілограмів важить цілий кавун?

5) У книжці 72 сторінки. Хлопчик прочитав 1/9 частину книги. Скільки сторінок він прочитав?

6) Господарка купила 27 кг помідорів. 1/3 всіх помідорів вона засолила. Скільки кілограмів помідорів засолила господарка?

7) Зробивши 7 деталей, майстер виконав 1/6 планового завдання. Скільки деталей має зробити майстер за планом?

8) Учень виконував домашнє завдання 1 годину і 21 хвилину. 1/9 всього часу він розв’язував задачу. Скільки часу він розв’язував задачу?

9) Вінні-Пух пройшов 8 м, це становить 1/7 частину шляху від його будинку до будинку П’ятачка. Яка відстань між будинками Вінні-Пуха і П’ятачка?

10) На тренуванні з легкої атлетики 6 хвилин тривала розминка, що становить 1/9 від тривалості всього тренування. Скільки часу тривало тренування?

11) Від стрічки завдовжки 3 дм 6 см відрізали на закладку 1/6 її частину, а на бант для ляльки — 1/9 її частину. Скільки стрічки відрізали на закладку? Скільки стрічки відрізали на бант?

12) Господарка витратила 9 кг цукру, що становить 1/6 від всього цукру, який був у неї. Скільки кілограмів цукру було у господарки?

Aктуалізація вміння розв’язувати прості задачі на знаходження частини від числа або числа за величиною його частини

Що спільного у завданнях математичного диктанту? (У завданнях потрібно було знайти або частину від цілого, або ціле за величною його частини.) На які слова-озна-ки треба орієнтуватися, щоб визначити, що потрібно знаходити частину від цілого? Що має бути шуканим? (Слова-ознаки «(частина) від. (ціле)», шуканою є величина частини. Наприклад, шоста частина від 36, знайти ціле число.) На які слова-ознаки слід орієнтуватися, щоб визначити, що треба знайти ціле за величиною його частини? (Слова-ознаки «(частина) становить. (величина частини)» або «(частина) дорівнює. (величина частини)» чи навпаки; шуканою є величина цілого. Наприклад, шоста частина становить 2 дм або половина дорівнює 6 кг, знайти ціле.) Наведіть приклад задачі на знаходження частини від цілого; покажіть її опорну схему (с. 81 або 83 навчального зошита, біля сороки). Наведіть приклад задачі на знаходження цілого за величиною його частини; покажіть її опорну схему.

5. Колективне виконання завдання № 2.

Про що йдеться в задачі? Виділіть числові дані задачі. Що вони означають? Що є шуканим? На які слова-ознаки слід орієнтуватися, щоб визначити вид задачі? (У задачі 1: шуканою є маса землерийки, яка становить 1/4 від маси всієї їжі (цілого), а саме від 12 кг; тому треба шукати частину від цілого. В задачі 2: шуканою є кількість усіх квартир (ціле), якщо 12 однокімнатних квартир становить 1/4 всіх квартир; тому в цій задачі треба шукати ціле за величиною його частини.) Отже, щоб встановити вид задачі, треба з’ясувати: що є цілим; що є частиною; чи відома величина цілого; чи відома величина частини; що дано; що є шуканим.

Зіставляємо задачі: спільні числові дані; відмінні зв’язки між ними та шукані. Учні усно розв’язують подані задачі, складають і розв’язують обернені задачі.

1) Маса землерийки 3 кг, що становить 1/4 масу всієї їжі, яку вона з’їдає за добу. Скільки кілограмів їжі з’їдає землерийка за добу?

2) У будинку 48 квартир. 1/4 з них однокімнатні. Скільки однокімнатних квартир у будинку?

III. Формування вмінь і навичок. Закріплення вивченого

Формування вміння розв’язувати складені задачі, що містять знаходження дробу від числа

1. Усне колективне виконання завдання (всі записи виконуються лише на дошці).

Розв’яжіть задачу 1. Зіставте задачі 1 і 2. Чим вони відрізняються? Як відмінність вплине на розв’язання задачі 2? Поясніть схеми та розв’яжіть задачу 2.

1) У Вінні-Пуха у шафі було 8 банок меду. 1/4 запасів меду він заховав у погріб. Скільки банок меду Вінні-Пух заховав у погріб?

2) У Вінні-Пуха у шафі було 8 банок меду. 1/4 запасів меду він заховав у погріб. Скільки банок меду Вінні-Пух залишив у шафі?

Записуємо розв’язання на дошці:

1) 8 : 4 = 2 (б.) — меду заховав;

2) 8 – 2 = 6 (б.) — меду залишилось.

Зіставте задачу 1 із задачею 2. Що змінилося? Як ця зміна вплине на розв’язання? Доберіть опорну схему до задачі 2 з поданих на с. 87 навчального зошита, біля сороки. Із яких простих задач складається ця задача?

У Вінні-Пуха у шафі було 8 банок меду. Після того як кілька банок він заховав у погріб, у шафі залишилося 1/4 запасів меду. Скільки банок меду Вінні-Пух заховав у погріб?

Учні переконуються, що зміна умови жодним чином не впливає на вибір і порядок арифметичних дій, які є розв’язанням задачі; треба лише виправити пояснення. Першою дією знайдемо, скільки банок залишилося, а другою — скільки банок Вінні-Пух заховав у погріб.

Зіставте задачу із задачею 3. Що змінилося? Як ця зміна вплине на розв’язання? Доберіть вираз, що є розв’язанням задачі.

3) Вінні-Пух запланував за місяць з’їсти 8 банок меду, а з’їв на 1/4 банок із медом більше, ніж запланував. Скількома банками меду поласував Вінні-Пух протягом місяця?

Відповідь: 10 банками меду поласував Вінні-Пух.

2. Виконання завдання № 3 з коментарем.

Задачу 1 розв’язуємо усно. Встановлюємо, що в цій задачі шуканою є величина восьмої частини від цілого — 72 кг. Учні відтворюють правило і записують розв’язання задачі на дошці.

Робота над задачею 2. Про що йдеться в задачі? Зіставте цю задачу з попередньою. Чим вони відрізняються? В них однакові умови, але різні запитання. В цій задачі шуканою є маса картоплі, яку учні віднесли до шкільної їдальні.

Доповніть короткий запис задачі. Поясніть числа задачі. Що означає число 72? (Масу всієї картоплі — це ціле.) Що означає число 1/8? (Частину картоплі, що залишили.) Що означає знаменник 8; чисельник 1? (Число 8 означає, що всю картоплю розділили на 8 рівних частин, а чисельник 1 означає, що лише одну таку частину залишили для посадки.) Скільки восьмих частин у цілому? (8) Яке число є шуканим? (Скільки кілограмів картоплі віднесли у їдальню.)

Поясніть схематичний відрізок. (Цілий відрізок означає всю картоплю, що була спочатку, — це ціле, його величина становить 72 кг. Частина цілого відрізка ліворуч означає картоплю, що віднесли у їдальню; а інша частина — картоплю, що залишилася, але скільки це становить кілограмів — невідомо, проте відомо, що віднесли 1/8 від всієї картоплі, тобто від 72 кг.) Що є шуканим у задачі? (Скільки кілограмів картоплі віднесли у їдальню.)

Що достатньо знати, щоб відповісти на запитання задачі? (Достатньо знати два числових значення: І — скільки картоплі було спочатку (відомо — 72 кг), та ІІ — скільки кілограмів картоплі залишили для посадки (невідомо).) Якою арифметичною дією відповімо на запитання задачі? (Дією віднімання.) Чи можна відразу відповісти на запитання задачі? (Ні, ми не знаємо, скільки кілограмів картоплі залишили для посадки.) Що достатньо знати, щоб про це дізнатися? (Достатньо знати два числових значення: І — скільки було картоплі (відомо — 72 кг), та ІІ — яку частину залишили (відомо — 1/8).) Якою арифметичною дією відповімо на запитання задачі? (Дією ділення. Щоб знайти частину від числа, достатньо це число розділити на кількість рівних частин у ньому.) Чи можна відразу відповісти на це запитання? (Так, нам відомі обидва числових значення.) Отже, ми від запитання задачі перейшли до числових даних; аналіз закінчено.

Розбиваємо задачу на прості. Учні формулюють першу просту задачу. Звертаємо увагу на те, що на короткому записі її виділено жовтим фоном. Учні формулюють другу просту задачу. Складаємо план розв’язування задачі. Учні самостійно записують розв’язання задачі у зошитах.

3. Диференційована робота над завданням № 4.

Учні під керівництвом вчителя розв’язують задачу 1; зіставляють її із задачею 2; визначають відмінність. Далі частина учнів може продовжити працювати над задачею 2 самостійно. Роботою решти учнів керує вчитель: доповнюємо короткий запис задачі, пояснюємо числа задачі і шукане. Після цього може виокремитися частина учнів класу, які здатні продовжити працювати самостійно. Вчитель продовжує керувати роботою решти учнів: пояснюємо схематичний рисунок до задачі (знову виокремлюється частина учнів, які продовжують працювати над задачею самостійно і так далі); виконуємо аналітичні міркування при пошуку розв’язування задачі; розбиваємо задачу на прості; формулюємо план розв’язування задачі. Учні самостійно записують розв’язання задачі в зошитах.

Удосконалення обчислювальних навичок. порівняння математичних виразів

4. Виконання індивідуальних завдань (учнями, які швидше за всіх впоралися з попереднім завданням) із подальшою колективною перевіркою.

Обчисли значення виразів і порівняй їх.

Формування вміння розв’язувати рівняння різними способами

5. Колективне виконання завдання.

Розв’яжіть рівняння різними способами.

54 – x = 38 a • 4 = 32 64 : p = 8 c : 7 = 4

Pакріплення розуміння залежності величини дробу від його знаменника при порівнянні дробів

6. Виконання завдання № 5 з коментарем.

Коментар. 1/7 і 1/9. Знаменник першого дробу менший за знаменник другого дробу. Із двох частин більша та, у якої знаменник менший, тому 1/7 більша за 1/9.

Формування вміння застосовувати залежність значення добутку від зміни одного з множників в обчисленнях

7. Виконання завдання № 6 з коментарем.

Коментар. Перший стовпчик. 2 • 2 = 4. У другому виразі перший множник 2, другий множник 8. Другий множник збільшився у 4 рази, тому й значення добутку так само збільшиться у 4 рази. Маємо: 4 • 4 = 16. Перевіряємо: 2 • 8 = 16.

Розвиток логічного мислення учнів

8. Які числа потрібно поставити в порожні клітинки для того, щоб квадрат став «магічним»?

«Магічна» сума: 10 + 11 + 6 = 27.

IV. Пояснення завдань домашньої роботи

Домашнє завдання. Зошит «Працюю самостійно», с. 29, «Складені задачі на знаходження частини від числа», завдання № 1, 2.

У завданні № 1 запропоновано розв’язати задачі з двома запитаннями; у завданні № 2 — розв’язати рівняння.

V. Рефлексія навчально-пізнавальної діяльності учнів

Із якими задачами ви вперше ознайомились на уроці? Чи відрізняється процес розв’язування цих задач від усіх інших задач, які ви розв’язували? Ми так само продовжуємо працювати над задачами за пам’яткою. У чому особливість задач, які ми сьогодні розглядали на уроці? (Це або прості задачі на знаходження частини від числа, або на знаходження числа за величиною його частини, або складені задачі на знаходження частини від числа.) Які ще знання ви повторили? Які вміння ви покращили?

“Нова українська школа” матеріали для вчителів, студентів, учнів та батьків.

Використовуючи сайт ви погоджуєтесь з правилами користування

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Ми приєднуємось до закону про авторське право в цифрову епоху DMCA прийнятим за основу взаємовідносин в площині вирішення питань авторських прав в мережі Інтернет. Тому підтримуємо загальновживаний механізм “повідомлення-видалення” для об’єктів авторського права і завжди йдемо на зустріч правовласникам.

Копіюючи матеріали во повинні узгодити можливість їх використання з авторами. Наш сайт не несе відподвідальність за копіювання матеріалів нашими користувачами.

Як знайти частину від числа?

Знаходження частини від числа є одним з етапів вивчення дробів.

Дріб – це число, яке використовується для позначення частини цілого. Наприклад, візьмемо цілу піцу, поділимо її на 2 рівні частини і візьмемо 1 частину з 2-х. Або візьмемо піцу, поділимо її на 4 рівні частини і візьмемо 2 частини з 4-х. Частини, які ми взяли від цілої піци, можна позначити за допомогою дробів. Тобто дроби – це числа, які позначають частину цілого.

При пошуку частини від числа треба враховувати, що число буде цілим, а дріб – його частиною. І шукати будемо одну з частин, на які було поділено ціле. А точніше, будемо визначати одиничний дріб, у якого в чисельнику 1.

Щоб учні й учениці 3 класу легко опанували алгоритм пошуку частини від числа, слід переконатися, що вони мають добре сформоване початкове уявлення про звичайний дріб.

Закріпіть знання дитини про те, як шукати частину від цілого, та уявлення про дріб.

Для цього запропонуйте дитині декілька простих практичних задач на знаходження частини цілого.

Щоб дитина зрозуміла арифметику співвідношення цілого числа і його частин, спершу їй треба пояснити, що ціле можна поділити на частини. Для цього радимо підготувати реквізит, бажано смачний. Розв’язання реального практичного завдання допоможе непомітно заглибитися в тему вивчення дробів.

Як отримати половину чогось? Наприклад, половину цукерки чи яблука? Треба розділити їх навпіл. Тобто з одного цілого зробити дві рівні частини, щоб порівну дісталося двом (дитині і вам).

Щоб дитина це зрозуміла, розділіть разом із нею ціле яблуко. Запропонуйте задачу: яблуко одне, а пригоститися ним мають двоє. Як із одного цілого яблучка зробити дві частини? (Розрізати, тобто поділити навпіл). Зафіксуйте цей момент: щоб отримати половину цілого, треба ціле розділити на 2.

Мовою математики «знайти половину від цілого» – значить знайти 1/2 цього цілого. У дробі 1/2 знаменник показує, на скільки частин розділили ціле яблуко (на 2 частини), а чисельник – скільки частин яблука дісталося кожному (по 1 частині).

А якщо замість одного яблука взяти коробку тістечок? Як виконати те саме завдання і пригостити двох людей? У коробці 12 тістечок, які мають порівну дістатися обом. Тістечка теж треба розділити на 2. Щоб знайти 1/2 від 12, треба 12 (усю кількість) розділити на 2. Таким чином, кожній людині дістанеться 6 тістечок.

У такий спосіб варто розв’язати з дитиною ще декілька простих практичних задач, які наочно покажуть їй, як шукати частину цілого. Діліть шоколадки, малюйте торти, піци тощо.

Переконайтеся, що дитина зрозуміла, що означають знаменник у дробі та дробова риска

На цьому етапі важливо звернути особливу увагу на такі моменти:

• ціле – це не лише одиниця, тобто щось одне. Цілим ми вважаємо також групу предметів (як-от коробку з 12-ма тістечками);

• знаменник показує, на яку кількість частин розділили ціле. Тому ділимо завжди на те число, яке є в знаменнику;
• частини, на які розділили ціле, рівні між собою. Знаменник завжди вказує на кількість рівних частин;
• дробова риска, яка розділяє чисельник і знаменник, позначає дію ділення, тому слід ділити, а не виконувати іншу арифметичну дію;
• шукати половину – значить шукати 1/2 частину, тобто одну частину з двох. Відповідно, третина – це значить 1/3, одна частина з трьох, а чверть – 1/4, одна частина з чотирьох.

Використовуйте при вивченні дробів доступну наочність та пропонуйте цікаві завдання

При вивченні дробів, як і загалом математики, варто звернути увагу на доступний для всіх і при цьому вкрай цінний матеріал – звичайний аркуш у клітинку. Ідеально, якщо він буде зі збільшеною клітинкою для зручності.

Намалюйте квадрат із чотирьох клітинок і запропонуйте дитині замалювати 1/4 клітинок. Далі складніше: намалюйте квадрат із 12 клітинок і попросіть замалювати 1/4 частину.

Коли дитина легко виконуватиме такі завдання, пропонуйте їй не лише замалювати клітинки, а й записати виконану дію за допомогою числового виразу. До прикладу, треба знайти 1/4 частину квадрата із 4-х клітинок. Для цього 4 (ціле число) ділимо на 4 (число в знаменнику, яке вказує, на скільки треба ділити). Отримуємо 1 (одну клітинку).

Це звісно, дуже просто. Але саме простота й приховує основний секрет успішного опанування подібних завдань: треба максимально спростити завдання, щоб дитина зрозуміла алгоритм його розв’язку. І лише тоді поступово ускладнюйте задачі. Малюйте різні прямокутники і квадрати з різною кількістю клітинок, і нехай дитина шукає різні частини поданої кількості, записуючи у вигляді виразів виконані дії. Не забувайте, що на цьому етапі слід пропонувати знайти дріб від числа, у якого в чисельнику одиниця (одиничний дріб). Такі завдання допоможуть легко перейти від конкретного матеріалу до абстрактних числових обрахунків.

Якщо дитина усвідомлено виконує подібні завдання, то й правило знаходження частини від числа вона засвоїть досить легко. Дитина без проблем впорається із завданнями, у яких треба визначити одну частину будь-якого числа. Пропонуйте їй багато таких завдань (знайти третину від числа 63, чверть від 60, 1/5 від 125 тощо). Використовуйте і більші числа.

Корисними будуть завдання, у яких треба позначити дробову частину на малюнку:

Для учнів 3 класу пропонуйте прості й складені задачі на знаходження дробової частини від числа. Наприклад, барвисті задачі про щедрого хом’яка та «Велике господарство».

Навчайте визначати число від його частини

На наступному етапі пропонуйте обернені завдання, у яких треба визначити число, знаючи його частину.

У таких завданнях діє зворотне правило: щоб знайти число за його частиною, треба цю частину помножити на кількість рівних частин, на які було розділене це число.

Тобто знову важливо зосередитися на знаменнику. Треба помножити на знаменник частину, і отримаємо ціле число.

Якщо помічаєте, що дитина не зовсім впевнено застосовує це правило, скористайтеся перевіреним лайфхаком із аркушем у клітинку. Замалюйте 1 клітинку і скажіть, що це чверть фігури, яку треба доповнити. Міркуйте разом, як зробити так, щоб фігура стала цілою. Треба домалювати такі ж 3 клітинки, щоб разом вийшло 4 (бо в знаменнику 4). Власне, ми збільшили 1 клітинку в 4 рази. Якщо замість 1 клітинки намалювати 6, які теж будуть чвертю цілої фігури, то ці 6 клітинок теж треба збільшити в 4 рази. Тобто зробити 4 блоки по 6, а це те саме, що 4 • 6.

Пропонуйте дитині завдання, у яких слід шукати ціле число, знаючи лише його частину. Це можуть бути і прості задачі (У кошику було 15 яблук, які становлять третину всіх фруктів. Скільки фруктів було в кошику?), і числові завдання (Знайди число, якщо його 1/4 частина становить 18), і складені задачі.

Учня/ученицю 4 класу ознайомте з правилом знаходження дробу від числа

Щоб знайти дріб від числа, треба число розділити на знаменник цього дробу (у результаті з’ясовуємо величину однієї частини, на які поділене ціле) і отриманий результат помножити на чисельник дробу (чисельник вказує на кількість цих частин у дробі).

Зрозуміти цей алгоритм допоможе завдання «Дріб від числа», у якому дитині пропонується 16 прикладів зі звичайними дробами різної складності. Надалі досліджуйте інші властивості дробів.

Математика цікава насамперед тим, що вона допомагає вирішити практичні життєві завдання і, водночас, розвиває абстрактний тип мислення. Поясніть це дитині, відкрийте їй захопливий світ математичних знань! Вивчаючи дроби, це зробити просто й цікаво.

Авторка: Наталка Бачко, фахівчиня з домашнього навчання