1.2: Визначення межі «Епсілон-Дельта»

Проблема цих визначень полягає в тому, що слова «тяжіє», «наближення», а особливо «поруч» не є точними. Яким чином змінна, $x$ як правило, або наближається, $c$ ? Наскільки поруч робити $x$ і $y$ повинні бути $c$ і $L$ , відповідно?

Визначення, яке ми описуємо в цьому розділі, походить від формалізації 3. Швидке повторення наближає нас до того, що ми хочемо:

$\textbf^\prime$ . Якщо $x$ знаходиться в межах певного рівня допуску $c$ , то $y=f(x)$ відповідне значення знаходиться в межах певного рівня допуску $L$ .

Традиційним позначенням для $x$ -tolerance є мала грецька буква дельта $\delta$ , або, а $y$ -tolerance позначається рядковим епсилон, або $\epsilon$ . Ще одне перефразування $\textbf^\prime$ майже доводить нас до фактичного визначення:

$\textbf^<\prime \prime>$ . Якщо $x$ знаходиться в межах $\delta$ одиниць $c$ , то $y$ відповідне значення знаходиться в межах $\epsilon$ одиниць $L$ .

Ми можемо написати ” $x$ знаходиться в межах $\delta$ одиниць $c$ ” математично як

Дозволяючи символу $\longrightarrow$ “” представляти слово «означає», ми можемо переписати $\textbf”$ як

Справа в тому, що $\delta$ і $\epsilon$ , будучи допусками, можуть бути будь-якими позитивними (але, як правило, невеликими) значеннями. Нарешті, ми маємо формальне визначення межі з позначеннями, які бачили в попередньому розділі.

Визначення 1: Межа функції $f$

$I$ Дозволяти бути відкритий інтервал $c$ , що містить, і нехай $f$ бути функція визначена на $I$ , крім можливо в $c$ . Межа $f(x)$ , як $x$ наближається $c$ $L$ , є, позначається

означає, що даний будь-який $\epsilon > 0$ , існує $\delta > 0$ таке, що для всіх $x\neq c$ , якщо $|x – c| < \delta$ , то $|f(x) - L| < \epsilon$ .

(Математики часто люблять писати ідеї, не використовуючи жодних слів. Ось безсловесне визначення межі:

Зверніть увагу на порядок, в якому $\epsilon$ і $\delta$ даються. У визначенні спочатку $\epsilon$ дається $y$ -толерантність, а потім межа буде існувати, якщо ми зможемо знайти $x$ -толерантність $\delta$ , яка працює.

Приклад допоможе нам розібратися в цьому визначенні. Зверніть увагу, що пояснення довге, але воно займе один через всі кроки, необхідні для розуміння ідей.

Приклад 6: Оцінка ліміту за допомогою визначення

Покажіть, що $\lim\limits_ \sqrt = 2 .$

Рішення:
Перш ніж використовувати формальне визначення, давайте спробуємо деякі числові допуски. Що робити, якщо $y$ допуск дорівнює 0,5, або $\epsilon =0.5$ ? Наскільки близько до 4 $x$ має бути так, що $y$ знаходиться в межах 0,5 одиниць 2, тобто $1.5 < y < 2.5$ ? В цьому випадку можна поступити наступним чином:

$\text$ : Ілюстрація $\epsilon – \delta$ процесу.

Враховуючи $y$ толерантність $\epsilon =0.5$ , ми знайшли $x$ толерантність $\delta \leq 1.75$ , таку, що всякий раз, коли $x$ знаходиться в межах $\delta$ одиниць 4, то $y$ знаходиться в межах $\epsilon$ одиниць 2. Це те, що ми намагалися знайти.

Спробуємо ще одне значення $\epsilon$ .

Що робити, якщо $y$ допуск дорівнює 0,01, тобто $\epsilon =0.01$ ? Наскільки близько до 4 $x$ має бути для того, $y$ щоб бути в межах 0,01 одиниць 2 (або $1.99 < y < 2.01$ )? Знову ж таки, ми просто квадрат ці значення, щоб отримати $1.99^2 < x < 2.01^2$ , або

Яка бажана $x$ толерантність? У цьому випадку ми повинні мати $\delta \leq 0.0399$ , що є мінімальною відстанню від 4 з двох меж, наведених вище.

Зверніть увагу, що в деякому сенсі, схоже, є два допуски (нижче 4 з 0.0399 одиниць і вище 4 з 0.0401 одиниць). Однак ми не могли використовувати більше значення $0.0401$ for $\delta$ з тих пір інтервал для $x$ $3.9599 < x < 4.0401$ призведе до $y$ значення $1.98995 < y < 2.01$ (який містить значення НЕ в межах 0,01 одиниць 2).

Що ми маємо поки що: якщо $\epsilon =0.5$ , то $\delta \leq 1.75$ і якщо $\epsilon = 0.01$ , то $\delta \leq 0.0399$ . Візерунок побачити непросто, тому переходимо до загального $\epsilon$ намагаємося визначити $\delta$ символічно. Ми починаємо з припущення $y=\sqrt$ , що знаходиться в межах $\epsilon$ одиниць 2:

«Бажана форма» на останньому кроці – “» $4-\textit < x < 4 +\textit$ . Оскільки ми хочемо, щоб цей останній інтервал описати $x$ допуск навколо 4, ми маємо, що $\delta \leq 4\epsilon - \epsilon^2$ або $\delta \leq 4\epsilon + \epsilon^2$ , залежно від того, що менше:

Так як $\epsilon > 0$ , мінімум є $\delta \leq 4\epsilon – \epsilon^2$ . Ось і формула: дано $\epsilon$ , множина $\delta \leq 4\epsilon-\epsilon^2$ .

Ми можемо перевірити це для наших попередніх значень. Якщо $\epsilon=0.5$ , формула дає $\delta \leq 4(0.5) – (0.5)^2 = 1.75$ і коли $\epsilon=0.01$ , формула дає $\delta \leq 4(0.01) – (0.01)^2 = 0.399$ .

Насправді, це біль, але це не спрацює, якщо $\epsilon \ge 4$ . Це насправді не повинно відбуватися, $\epsilon$ оскільки має бути невеликим, але це може статися. У тих випадках $\epsilon \ge 4$ , коли, просто візьміть $\delta = 1$ і у вас все буде добре.

Попередній приклад був трохи довгим у тому, що ми вибрали кілька конкретних випадків $\epsilon$ перед обробкою загальної справи. Зазвичай цього не роблять. Попередній приклад також трохи незадоволений у цьому $\sqrt=2$ ; навіщо так наполегливо працювати, щоб довести щось настільки очевидне? Багато $\epsilon$ – $\delta$ докази довго і важко зробити. У цьому розділі ми зупинимося на прикладах, де відповідь, чесно кажучи, очевидна, тому що неочевидні приклади ще важче. У наступному розділі ми дізнаємося деякі теореми, які дозволяють оцінювати межі аналітично, тобто без використання $\epsilon$ – $\delta$ визначення.

Ось чому теореми про межі так корисні! Зробивши ще кілька $\epsilon$ – $\delta$ доказів, ви дійсно оціните аналітичні «короткі скорочення», знайдені в наступному розділі.

Приклад 7: Оцінка ліміту за допомогою визначення

Рішення

Це трохи складніше, ніж попередній приклад, але давайте почнемо з того, що помічаємо це $|x^2-4| = |x-2|\cdot|x+2|$ . Розглянемо:

Чи не могли ми встановити $ \delta = \frac<|x+2|>$ ?

Ми близькі до відповіді, але підступ полягає в тому, що $\delta$ повинно бути постійним значенням (тому воно не може містити $x$ ). Є спосіб обійти це, але ми повинні зробити припущення. Пам’ятайте, що $\epsilon$ передбачається невелике число, що має на увазі, що також $\delta$ буде невелике значення. Зокрема, ми можемо (ймовірно) припустити, що $\delta < 1$ . Якщо це правда, то $|x-2| < \delta$ означало б $|x-2| < 1$ , що, даючи $1 < x < 3$ .

Це говорить про те, що ми встановили $ \delta \leq \frac$ . Щоб зрозуміти, чому, давайте розглянемо, що слід, коли ми припускаємо \(|x-2|

Ми також $\delta$ вирішили бути меншим, ніж «необхідно». Ми могли б обійтися трохи більшим $\delta$ , як показано на малюнку 1.18. Пунктирні зовнішні лінії показують межі, визначені нашим вибором $\epsilon$ . Пунктирні внутрішні лінії показують межі, визначені налаштуванням $\delta = \epsilon/5$ . Зверніть увагу, як ці пунктирні лінії знаходяться в пунктирних лініях. Це абсолютно добре; вибираючи $x$ в межах пунктирних ліній, ми гарантуємо, що $f(x)$ буде в межах $\epsilon$ 4. % Якщо значення, яке ми врешті-решт використали $\delta$ $\epsilon/5$ , а саме, не менше 1, це підтвердження не працюватиме. Для остаточного виправлення ми замість цього встановлюємо $\delta$ мінімум 1 і $\epsilon/5$ . Таким чином працюють всі розрахунки вище.

$\text$ : Вибір $\delta = \epsilon / 5 $ у прикладі 7.

Підсумовуючи, дано $\epsilon > 0$ , безліч $\delta=\leq\epsilon/5$ . Потім $|x – 2| < \delta$ має на увазі $|x^2 - 4|< \epsilon$ (тобто $|y - 4|< \epsilon$ ) за бажанням. Це показує, що $ \lim_x^2 = 4 $ . Рисунок 1.18 дає візуалізацію цього; $x$ обмежуючись значеннями в межах $\delta = \epsilon/5$ 2, ми бачимо, що $f(x)$ знаходиться в межах $\epsilon$ $4$ .

Зверніть увагу на загальний візерунок, виставлений в цих останніх двох прикладах. У якомусь сенсі кожен починається «назад». Тобто поки ми хочемо

ми фактично починаємо з припускаючи

Коли ми правильно це зробили, щось на стороні нерівності «більше, ніж» стає нашим $\delta$ . Ми можемо називати це етапом «подряпина-робота» нашого доказу. Після того $\delta$ , як ми це зробимо, ми можемо формально почати з \(|x-c|

Ми виділимо цей процес в наступному прикладі.

Приклад 8: Оцінка ліміту за допомогою визначення

Доведіть це $ \lim\limits_x^3-2x = -1$ .

Рішення

Ми починаємо нашу роботу з подряпин, враховуючи $|f(x) – (-1)| < \epsilon$ :

Ми знаходимося на етапі сказати, що $|x-1|щось, де \(\textit=\epsilon/|x^2+x-1|$ . Ми хочемо перетворити це на щось $\delta$ .

Оскільки $x$ наближається до 1, ми можемо з упевненістю припустити, що $x$ це між 0 і 2. Так

Так ми і встановили $\delta \leq \epsilon/5$ . На цьому наша робота над подряпинами закінчується, і ми починаємо формальне підтвердження (що також допомагає нам зрозуміти, чому це був хороший вибір $\delta$ ).

це те, що ми хотіли показати. Таким чином $\lim\limits_x^3-2x = -1$ .

Ми ще раз проілюструємо оцінку лімітів.

Приклад 9: Оцінка ліміту за допомогою визначення

Доведіть, що $\lim\limits_ e^x = 1. $

Рішення

Тепер ми працюємо над фактичним доказом:

Вищевказана лінія вірна нашим вибором $\delta$ і тим, що з тих пір $|\ln(1-\epsilon)|>\ln(1+\epsilon)$ і \(\ln(1-\epsilon)

Зауважимо, що ми могли б насправді показати, що $\lim_ e^x = e^c $ для будь-якої константи $c$ . Ми робимо це факторингом $e^c$ з обох сторін, залишаючи нас показувати $\lim_ e^ = 1 $ замість цього. Використовуючи підміну $u=x-c$ , це зводиться до показу того, $\lim_ e^u = 1 $ що ми тільки що зробили в останньому прикладі. Як додаткова перевага, це показує, що насправді функція $f(x)=e^x$ є безперервною при всіх значеннях $x$ , важливе поняття, яке ми визначимо в Розділі 1.5.

Це формальне визначення межі не є легким поняттям зрозуміти. Наші приклади насправді є «легкими» прикладами, використовуючи «прості» функції, такі як поліноми, квадратні корені та експоненціальні. Дуже складно довести, використовуючи наведені вище прийоми, що $\lim\limits_(\sin x)/x = 1$ , як ми наблизилися в попередньому розділі.

Є надія. У наступному розділі показано, як можна оцінити складні межі, використовуючи певні базові обмеження як будівельні блоки. Хоча межі є неймовірно важливою частиною обчислення (а отже, і більша частина вищої математики), рідко обмежуються за допомогою визначення. Швидше за все, застосовуються прийоми наступного розділу.

Автори та атрибуція

1.5: Точність і значущі цифри

Число – це точне значення, якщо воно є результатом підрахунку або визначенням. Число – це наближення, якщо воно є результатом вимірювання або округлення.

Вправи $\PageIndex$

Визначте кожне число як точне значення або наближення. 1. Дюйм – це $\dfrac$ фут. 2. Ця дошка $78$ завдовжки дюймів. 3. Є $14$ учні в класі. 4. Тахометр автомобіля зчитує $3,000$ обороти в хвилину. 5. Прямий кут вимірює $90$ °. 6. Кут піднесення пандуса – $4$ °. Відповідь 1. точне значення 2. наближення 3. точне значення 4. наближення 5. точне значення 6. наближення

Припустимо, колега надсилає вам повідомлення про те, що вони приїдуть за $20$ лічені хвилини. Важко сказати, наскільки точно це число, тому що ми часто округляємо до найближчих $5$ або $10$ хвилин. Ви можете розумно очікувати, що вони прибудуть в будь-який час протягом $15$ $25$ найближчих хвилин. Якщо ваш колега тексти, що вони прибудуть за $17$ лічені хвилини, цілком ймовірно, що їх GPS сказав їм, що більш точне число, і ви можете розумно очікувати, що вони прибудуть протягом $16$ двох $18$ хвилин.

Точність і значущі цифри

Всі ненульові цифри є значущими.
Наприклад: $12,345$ має п’ять знаків інжиру, і $123.45$ має п’ять знаків інжиру.
Всі нулі між іншими ненульовими цифрами є значущими.
Наприклад: $10,045$ має п’ять знаків інжиру, і $100.45$ має п’ять знаків інжиру.
Будь-які нулі праворуч від десяткового числа є значними.
Наприклад: $123$ має три знакових інжиру, але $123.00$ має п’ять знакових інжиру.
Нулі ліворуч від десяткового числа НЕ є значними.
Наприклад: $0.123$ має три знакових інжиру, і $0.00123$ має три знакових інжиру.
Нулі праворуч від цілого числа НЕ є значними, якщо вони не позначені перекриттям.
Наприклад: $12,300$ має три знакових інжиру, але $12,30\overline$ має п’ять знакових інжиру.

Інший спосіб думати про #4 і #5 вище полягає в тому, що нулі, які просто показують значення місця – де десяткова крапка належить – НЕ є значними.

Вправи $\PageIndex$

Визначте точність (тобто кількість значущих цифр) кожного числа.

7. $63,400$

8. $63,040$

9. $63,004$

10. $0.085$

11. $0.0805$

12. $0.08050$

Відповідь

7. три значущі цифри

8. чотири значущі цифри

9. П’ять значущих цифр

10. дві значущі цифри

11. три значущі цифри

12. чотири значущі цифри

Як уже згадувалося вище, ми використовуємо перекриття, щоб вказати, коли нуль, який виглядає незначним, насправді є значним. Наприклад, точність [2] $7,400$ – це сотні місць; якщо ми округлимо що-небудь від $7,350$ $7,449$ до найближчої сотні, ми б запишемо результат як $7,400$ . Овербар показує, що число є більш точним, ніж здається. Якщо ми округлили що-небудь від $7,395$ $7,404$ до найближчого десяти, результат буде $7,400$ , але вже не ясно, що число було округлено до десятки місце. Тому, щоб показати рівень точності, записуємо результат як $7,4\overline0$ . Якщо ми округлили що-небудь від $7,399.5$ $7,400.4$ до найближчого, результат буде знову $7,400$ , і ми знову не можемо побачити, наскільки точним округлене число насправді. Тому, щоб показати, що число є точним до тих місць, ми пишемо результат як $7,40\overline$ .

Вправи $\PageIndex$

Визначте точність (тобто кількість значущих цифр) кожного числа.

13. $8,000$

14. $8,\overline00$

15. $8,0\overline0$

16. $8,00\overline$

Відповідь

13. одна значна цифра

14. дві значущі цифри

15. три значущі цифри

16. чотири значущі цифри

Дві речі, які слід пам’ятати: ми не ставимо overbar над ненульовою цифрою, і нам не потрібен overbar для будь-яких нулів праворуч від десяткового числа, тому що вони вже розуміються як значні.

Округлення на основі точності

Як ми бачили в попередньому модулі про десяткових знаках, часто доводиться округлити число. Ми часто округляємо до певного місця значення, наприклад найближчого сотого, але є й інший спосіб округлити. Округлення на основі точності враховує кількість значущих цифр, а не значення місця.

Округлення на основі точності:

Знайдіть округлення цифру, до якої ви округляєте, відраховуючи зліва, поки не отримаєте правильну кількість значущих цифр.
Подивіться на тестову цифру прямо праворуч від округлення цифри.
Якщо контрольна цифра дорівнює 5 або більше, збільште цифру округлення на 1 і опустіть всі цифри праворуч від неї. Якщо контрольна цифра менше 5, залиште округлення однаковою і опустіть всі цифри праворуч від неї.

Вправи $\PageIndex$

Округляйте кожне число так, щоб воно мало зазначену кількість значущих цифр.

17. $21,837$ (два знака інжир)

18. $21,837$ (три знака інжир)

19. $21,837$ (чотири знака інжир)

20. $4.2782$ (два знака інжир)

21. $4.2782$ (три знака інжир)

22. $4.2782$ (чотири знака інжир)

Відповідь

Коли цифра округлення цілого числа є a $9$ , яка округляється до a $0$ , ми повинні написати перекриття над цим $0$ .

Аналогічно, коли округлення цифра десяткового числа є a $9$ , яка округляється до a $0$ , ми повинні включити $0$ в цей десятковий розряд.

Вправи $\PageIndex$

Округляйте кожне число так, щоб воно мало зазначену кількість значущих цифр. Обов’язково включіть кінцеві нулі або перекриття, якщо це необхідно.

23. $13,997$ (два знака інжир)

24. $13,997$ (три знака інжир)

25. $13,997$ (чотири знака інжир)

26. $2.5996$ (два знака інжир)

27. $2.5996$ (три знака інжир)

28. $2.5996$ (чотири знака інжир)

Mt. Еверест, Лохте та Нупсе рано вранці

Гора, яку ми знаємо як Mt. Еверест називається Сагарматха в Непалі і Чомолунгма в Тибеті. 8 грудня 2020 року Непал та Китай спільно оголосили, що саміт має висоту $29,031.69$ футів, замінюючи раніше прийняту висоту $29,029$ футів. [3]

29. Круглий $29,031.69$ фут до двох знаків інжиру.

30. Круглий $29,031.69$ фут до трьох знаків інжиру.

31. Круглий $29,031.69$ фут до чотирьох знаків інжиру.

32. Круглий $29,031.69$ фут до п’яти знаків інжиру.

33. Круглий $29,031.69$ фут до шести знаків інжиру.

Відповідь

Точність при множенні та діленні

Припустимо, вам потрібно було квадратне число $3\dfrac$ . Ви могли б переписати $3\dfrac$ як неправильний дріб, $\dfrac$ а потім з’ясувати $(\dfrac)^2 = \dfrac$ , що, що дорівнює повторюваної десяткової $11.111. $

Тому що більшість людей вважають за краще десяткові дроби, ми могли б замість цього $3\dfrac$ округлити $3.3$ і знайти, що $3.3^2=10.89$ . Однак це не точно, тому що $11.111. $ округлені до найближчої сотої повинні бути $11.11$ . Відповідь $10.89$ виглядає дуже точною, але це помилкова точність, оскільки є помилка округлення. Якщо ми округлимо нашу відповідь $10.89$ до найближчої десятої, ми отримаємо $10.9$ , яка все ще не точна, тому що $11.111. $ округлена до найближчої десятої повинна бути $11.1$ . Якщо ми округлимо нашу відповідь $10.89$ до найближчого цілого числа, ми б отримати $11$ , що є точним, тому що $11.111. $ округлені до найближчого цілого числа дійсно $11$ . Виявляється, ми повинні зосереджуватися на кількості значущих цифр, а не на значенні місця; оскільки $3.3$ має лише два sig figs, наша відповідь повинна бути округлена до двох sig figs.

Припустимо, замість того, що ми округлимо $3\dfrac$ до $3.33$ і знайти, що $3.33^2=11.0889$ . Знову ж таки, це не точно, тому що $11.111. $ округлені до найближчих десятитисячних повинні бути $11.1111$ . Якщо ми округлимо $11.0889$ до найближчої тисячної, ми отримаємо $11.089$ , що все ще не точно, тому що $11.111. $ округлені до найближчої тисячної повинні бути $11.111$ . Якщо ми округляємо $11.0889$ до найближчої сотої, то отримаємо $11.09$ , яка все одно не точна, тому що $11.111. $ округлені до найближчої сотої повинні бути $11.11$ . Тільки коли ми округляємо до найближчої десятої ми отримуємо точний результат: $11.0889$ округлений до найближчої десятої є $11.1$ , що є точним, тому що $11.111. $ округлений до найближчої десятої дійсно $11.1$ . Як і вище, нам потрібно зосередитися на кількості значущих цифр, а не на значення місця; оскільки $3.33$ має лише три sig інжир, наша відповідь повинна бути округлена до трьох sig figs.

При множенні або діленні чисел відповідь повинна бути округлена до тієї ж кількості значущих цифр, що і найменш точні з вихідних чисел.

Не округляйте початкові числа; спочатку зробіть необхідні обчислення, а потім округліть відповідь як останній крок.

Вправи $\PageIndex$

Використовуйте калькулятор, щоб помножити або розділити, як зазначено. Потім округляйте до відповідного рівня точності.

34. $8.75\cdot12.25$

35. $355.12\cdot1.8$

36. $77.3\div5.375$

37. $53.2\div4.5$

38. Припустимо, ви заправляєте 5-літрову каністру бензину. Бензин коштує $2.579 за галон, і ви підрахували, що ви будете купувати $5.0$ галони. Скільки ви повинні розраховувати витратити?

Відповідь

Терміни «значущі цифри» і «значущі цифри» вживаються як взаємозамінні. ⦁
Точність відрізняється від точності, як ми дізнаємося в наступному модулі, але це згадується тут, тому що може бути важко пояснити одне без іншого. ⦁
https://www.washingtonpost.com/world/asia_pacific/mount-everest-height-nepal-china/2020/12/08/a7b3ad1e-389a-11eb-aad9-8959227280c4_story.html↑

Що означає точність епсілон

1.2: Визначення межі «Епсілон-Дельта»

Автори та атрибуція

1.5: Точність і значущі цифри

Вправи \(\PageIndex\)

Точність і значущі цифри

Вправи \(\PageIndex\)

Вправи \(\PageIndex\)

Округлення на основі точності

Вправи \(\PageIndex\)

Вправи \(\PageIndex\)

Точність при множенні та діленні

Вправи \(\PageIndex\)

Recommended articles

§ 5. Точність вимірювань. Похибки

Що означає точність епсілон

1.2: Визначення межі «Епсілон-Дельта»

Автори та атрибуція

1.5: Точність і значущі цифри

Вправи \(\PageIndex\)

Точність і значущі цифри

Вправи \(\PageIndex\)

Вправи \(\PageIndex\)

Округлення на основі точності

Вправи \(\PageIndex\)

Вправи \(\PageIndex\)

Точність при множенні та діленні

Вправи \(\PageIndex\)

Recommended articles

§ 5. Точність вимірювань. Похибки

Related Post

Які кольори носити в березні?Які кольори носити в березні?

Клівія пропадає що робитиКлівія пропадає що робити

Скільки часу займає оцінка податку в Мангеймі?Скільки часу займає оцінка податку в Мангеймі?