ГЕОМЕТРІЯ
Уроки для 7 класів
Мета: домогтися засвоєння учнями означення вертикальних кутів, формулювання і доведення теореми про властивість вертикальних кутів; означення кутів між прямими.
✵ будувати вертикальні кути;
✵ знаходити вертикальні кути на рисунку;
✵ розв’язувати задачі із застосуванням теореми про рівність вертикальних кутів та суму суміжних кутів.
Тип уроку: засвоєння знань, умінь та навичок.
Наочність і обладнання: набір демонстраційного креслярського приладдя.
ІІ. Перевірка домашнього завдання
1. Учитель збирає зошити для перевірки.
2. Учні виконують самостійну роботу.
1. З вершини розгорнутого кута AOB проведено промінь OC. Назвіть суміжні кути, які при цьому утворилися.
2. Один із суміжних кутів на 22° більший від другого. Знайдіть ці кути.
3. При перетині двох прямих утворилися чотири кути, причому жоден із них не є гострим. Під яким кутом перетинаються ці прямі?
4. Прямі AB і CD є перпендикулярними й перетинаються в точці O. Промінь OE проходить між променями OA і OD, а промінь OF проходить між променями OB і OC, , . Знайдіть кут EOF.
1. Прямі AB і CD перетинаються в точці O. Назвіть дві пари вертикальних кутів, які при цьому утворилися.
2. Один із суміжних кутів у 3 рази менший від іншого. Знайдіть ці кути.
3. При перетині двох прямих утворилися чотири кути, причому жоден із них не є тупим. Під яким кутом перетинаються ці прямі?
4. Прямі AB і CD є перпендикулярними й перетинаються в точці O. Промінь OE проходить між променями OA і OD, а промінь OF проходить між променями OB і OC, , . Знайдіть кут COF.
ІІІ. Мотивація навчальної діяльності. Формулювання мети й завдань уроку
Нагадуємо учням про можливі варіанти взаємного розташування двох кутів зі спільними елементами (див. урок № 9). З цього випливає завдання уроку: сформулювати означення та властивості нового виду кутів (за взаємним розташуванням), з’ясувати сферу застосування цих знань.
IV. Актуалізація опорних знань
1. Знайдіть кут, суміжний з кутом 30°; 90°; 120°;α(0 o
2. Дано кут. Один з кутів, суміжний з даним кутом, дорівнює 50°. Чому дорівнює інший кут, суміжний з даним?
3. Опишіть словами взаємне розташування позначених на рисунку 1 кутів:
План вивчення нового матеріалу
1°. Означення вертикальних кутів.
2°. Теорема про вертикальні кути з доведенням.
3°. Застосування означення та властивості вертикальних кутів (кути, що утворились при перетині двох прямих; кут між двома прямими).
Звісно, що й означення, і властивість вертикальних кутів (та її доведення), подані у підручнику, мають такий самий вигляд, як і в підручнику О. В. Погорєлова (геометрія 7–9). Але, на відміну від цього підручника, методика введення означення вертикальних кутів змінилась: ми розглядаємо вертикальні кути як один з кількох випадків взаємного розташування двох кутів зі спільними елементами.
Також, на відміну від підручника О. В. Погорєлова, у пункті 6 міститься пряме посилання на те, що вертикальні кути утворюються кожного разу, коли дві прямі перетинаються (тобто акцентується на тому, як практично на рисунку знайти пари вертикальних кутів—шукай дві прямі, що перетинаються).
Також особливістю підручника є подане в цьому параграфі (§ 6 «Вертикальні кути») означення кута між прямими.
VI. Первинне усвідомлення нового матеріалу
1. Чи є на рисунку 2 пари вертикальних кутів? Відповідь обґрунтуйте.
2. Визначте на рисунку 3 види кутів, що утворились:
Порівняйте відповіді. Зробіть висновок.
3. Визначте вид двох з кутів,що утворились при перетині двох прямих, якщо:
а) один з них на 20° більший за інший;
Виконання графічних вправ
Накресліть прямі a і b, що перетинаються в точці O під кутом 80°.
а) Виділіть кольором усі пари вертикальних кутів, що утворилися на рисунку. Якими є градусні міри цих кутів?
б) Проведіть через точку O пряму, перпендикулярну до прямої a. Чи буде ця пряма перпендикулярною до прямої b?
Виконання письмових вправ
1. Один із кутів, що утворилися в результаті перетину двох прямих, дорівнює 125°. Знайдіть решту кутів. Чому дорівнює кут між цими прямими?
2. Знайдіть усі кути, що утворилися в результаті перетину двох прямих, якщо:
а) бісектриса відтинає від одного з них кут 23°;
б) один із цих кутів утричі більший, ніж інший.
1. Знайдіть усі кути, що утворилися в результаті перетину двох прямих, якщо:
а) сума трьох із них дорівнює 295°;
б) градусні міри двох із цих кутів відносяться як 4 : 5.
2. Три прямі перетинаються в одній точці так, що два з кутів, які утворилися в результаті перетину, дорівнюють 56° і 39° (рис. 4). Знайдіть решту чотири кути між сусідніми променями.
Один із кутів, що утворилися в результаті перетину двох прямих, дорівнює сумі двох інших кутів. Знайдіть кут між даними прямими.
Під час розв’язування письмових задач, використовуємо факт, що будь_які два кути, що утворилися при перетині двох прямих, або суміжні, або вертикальні (тобто або їх сума 180°, або вони рівні), а також, той факт, що випливає з попереднього: з 4-х кутів, що утворилися при перетині двох прямих, можна утворити дві пари рівних між собою кутів.
1. Чи можуть дві прямі, перетинаючись, утворити три гострі кути; тільки один тупий кут; чотири прямі кути?
2. Чи є правильним твердження: «Два рівні кути зі спільною вершиною є вертикальними»?
1. Знайдіть усі кути,що утворилися в результаті перетину двох прямих, якщо:
а) сума двох із них дорівнює 320°;
б) один із цих кутів на 50° менший за інший.
2. Знайдіть кут між двома прямими, які перетинаються, якщо:
а) сума двох утворених кутів на 80° менша, ніж сума двох інших кутів;
б) один із кутів,що утворилися, удвічі менший за суму решти трьох кутів.
3. Один із кутів, що утворилися в результаті перетину двох прямих, є тупим. Доведіть методом від супротивного, що жоден із решти утворених кутів не може бути прямим.
4. У результаті перетину двох прямих утворилися чотири кути, один із яких є прямим. Доведіть, що решта кутів також прямі.
1. Уроки геометрії. 7 клас./ С. П. Бабенко — Х.: Вид. група «Основа», 2007.— 208 с.
Кут між прямими
Дві прямі називаються такими, що перетинаються, якщо вони мають єдину спільну точку. Ця точка називається точкою перетину прямих. Прямі розбиваються точкою перетину на промені, які утворюють чотири нерозгорнуті кути, серед яких дві пари вертикальних кутів і чотири пари суміжних кутів. Якщо відомий розмір одного з кутів, утворених прямими, що перетинаються, то легко визначити розмір інших кутів. Якщо один із кутів прямий, то решта теж прямі, а прямі перпендикулярні.
Кут між прямими на площині
Кут між прямими заданими рівняннями з кутовим коефіцієнтом
то кут між ними можна знайти за допомогою формули:
Якщо знаменник дорівнює нулю (1 + k 1· k 2 = 0), то прямі перпендикулярні.
Доведення. Якщо прямі задані рівняннями з кутовими коефіцієнтами, легко знайти кути між цими прямими і віссю OX
Відповідно, легко знайти кут між прямими
tg γ = tg ( α – β ) = tg α – tg β 1 + tg α ·tg β = k 1 – k 2 1 + k 1· k 2
Кут між прямими через напрямні вектори цих прямих
Якщо a – напрямний вектор першої прямої та b – напрямний вектор другої прямої, то скориставшись скалярним добутком векторів, легко знайти кут між прямими:
Якщо рівняння прямої задано параметрично
то вектор напрямної має вигляд
Якщо рівняння прямої задано як
то для обчислення напрямного вектора можна взяти дві точки на прямій.
Нариклад, якщо C ≠ 0, A ≠ 0, C ≠ 0 , коли x = 0 => y = – C B значить точка на прямій має координати K(0, – C B ), коли y = 0 => x = – C A значить точка на прямій має координати M(- C A , 0). Напрямний вектор KM = .
Якщо задане канонічне рівняння прямої
то напрямний вектор має вигляд
Якщо задане рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом
то для обчислення напрямного вектора, можна взяти дві точки на прямій, наприклад, коли x = 0 => y = b значить точка на прямій має координати K(0, b ), коли x = 1 => y = k + b значить точка на прямій має координати M(1, k + b ). Напрямний вектор KM =
Кут між прямими через вектори нормалей цих прямих
Якщо a – вектор нормалі першої прямої і b – вектор нормалі другої прямої, скориставшись скалярним добутком векторів, легко знайти кут між прямими:
Якщо рівняння прямої задане як
то вектор нормалі має вигляд
Якщо задане рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом
то вектор нормалі має вигляд
Кут між прямими через напрямний вектор та вектор нормалі цих прямих
Якщо a – напрямний вектор першої прямої і b – вектор нормалі другої прямої, скориставшись скалярним добутком векторів, легко знайти кут між прямими:
Приклади завдань для обчислення кута між прямими на площині
Розв’язок: Скористаємося формулою для обчислення кута між прямими заданими рівняннями з кутовим коефіцієнтом:
tg γ = k 1 – k 2 1 + k 1· k 2 = 2 – (-3) 1 + 2·(-3) = 5 -5 = 1
Розв’язок: Скористаємося формулою для обчислення кута між прямими, у яких відомі напрямні вектори.
Для першої прямої напрямний вектор , для другої прямої напрямний вектор
cos φ = |1 · 2 + 2 · 1| 1 2 + 2 2 · 2 2 + 1 2 = 4 5 · 5 = 0.8
Розв’язок: Для розв’язання цього завдання можна знайти напрямні вектори та обчислити кут через напрямні вектори або перетворити рівняння на рівняння з кутовим коефіцієнтом та обчислити кут через кутові коефіцієнти.
Перетворимо наявні рівняння у рівняння з кутовим коефіцієнтом.
2 x + 3 y = 0 => y = – 2 3 x ( k 1 = – 2 3 )
x – 2 3 = y 4 => y = 4 3 x – 8 3 ( k 2 = 4 3 )
tg γ = k 1 – k 2 1 + k 1· k 2 = – 2 3 – 4 3 1 + (- 2 3 )· 4 3 = – 6 3 1 – 8 9 = 18
Кут між прямими у просторі
Якщо a – напрямний вектор першої прямої, а b – напрямний вектор другої прямої, скориставшись скалярним добутком векторів, легко знайти кут між прямими:
Якщо дано канонічне рівняння прямих
то напрямний вектор має вигляд
Якщо рівняння прямої задане параметрично
x = l t + a y = m t + b z = n t + c
то напрямний вектор має вигляд
Розв’язок: Оскільки прямі задані параметрично, то – напрямний вектор першої прямої, – напрямний вектор другої прямої.
cos φ = |2 · 1 + 1 · (-2) + (-1) · 0| 2 2 + 1 2 + (-1) 2 · 1 2 + (-2) 2 + 0 2 = 0 6 · 5 = 0
Розв’язок: Щоб вирішити це завдання, знайдемо напрямні вектори цих прямих.
Рівняння першої прямої задано в канонічному виді, тому напрямний вектор .
Перетворимо друге рівняння до канонічного вигляду.
1 – 3 y = 1 + y -1/3 = y – 1/3 -1/3
Отримано рівняння другої прямої у канонічному вигляді
x – 2 -2 = y – 1/3 -1/3 = z – 5/3 2/3
– напрямний вектор другої прямої.
cos φ = 3·(-2) + 4·(- 1 3 ) + 5· 2 3 3 2 + 4 2 + 5 2 · (-2) 2 + (- 1 3 ) 2 + ( 2 3 ) 2 = -6 – 4 3 + 10 3 9 + 16 + 25 · 4 + 1 9 + 4 9 = -4 50 · 41/9 = 12 5 82 = 6 82 205