1. Арккосинус і рівняння cos x = a

Рівняння виду sin x = a , cos x = a , tg x = a , ctg x = a називаються найпростішими тригонометричними рівняннями.

Якщо a ≤ 1 , тоді корені рівняння виражаються формулою x = ± arccos a + 2 π k , k ∈ ℤ

Що ж таке arccos a ? Арккосинус в перекладі з латинської означає дуга і косинус. Це зворотна функція.

Якщо a ≤ 1 , тоді arccos a (арккосинус а ) – це таке число з відрізка 0 ; π , косинус якого дорівнює а .

Вираз arccos 2 2 показує, що косинус кута x дорівнює 2 2 ( cos x = 2 2 ).
Далі просто знаходимо точку цього косинуса на числовому колі, що і є відповіддю:
число, що є значенням осі x , відповідає точці π 4 на числовому колі.

У першому випадку по точці на числовому колі визначаємо значення косинуса, а в другому – навпаки, за значенням косинуса знаходимо точку на числовому колі. Рух у зворотний бік. Це і є арккосинус.

1. Формули синуса і косинуса суми і різниці аргументів.

Перед тим, як почати докладне ознайомлення з формулами перетворення тригонометричних виразів пояснимо, для чого взагалі потрібні перетворення тригонометричних виразів.

Справа в тому, що дуже часто тригонометричні вирази навіть самого «страхітливого» виду після нескладних перетворень досить легко зводяться до виразів з табличним значенням аргументу – таким, наприклад, як: 30 ° ( π 6 ) , 45 ° ( π 4 ) , 60 ° ( π 3 ) . або до таких виразів, розв’язок яких знайти набагато простіше, ніж розв’язок вихідного тригонометричного виразу.

У цьому і полягає основна мета перетворення тригонометричних виразів – звести заданий вираз до такого виду, щоб знайти його розв’язок було простіше.

А засобом для досягнення цієї мети – її «інструментом» – і є формули перетворення тригонометричних виразів ,

знайомство з якими ми почнемо з вивчення найбільш важливих з них – формул додавання .

Саме ці формули вважаються основними і найбільш важливими формулами перетворення тригонометричних виразів, оскільки з цих формул без особливих зусиль виводяться практично всі формули тригонометрії.

Доказ самих формул синуса і косинуса суми аргументів технічно досить складний і він не входить в базовий курс навчання.

Примітка. Для стислості та спрощення надалі виключимо слово «аргументів» з назв формул – це загальноприйнята практика – і кажучи про формули синуса або косинуса суми (різниці) будемо розуміти, що це формули синуса або косинуса суми (різниці) аргументів цих функцій.

1. Синус, косинус і тангенс кута

Як уже відомо, в прямокутному трикутнику синус гострого кута визначається як відношення протилежного катета до гіпотенузи, а косинус гострого кута — як відношення прилеглого катета до гіпотенузи.

Довжина відрізка \(AX\) дорівнює величині координати \(y\) точки \(A,\) а довжина відрізка \(OX\) — величині координати \(x\) точки \(A:\)

Отже, для кутів 0 ° ≤ α ≤ 180 ° бачимо, що − 1 ≤ cos α ≤ 1 ; 0 ≤ sin α ≤ 1 \(.\)

У прямокутному трикутнику тангенс гострого кута дорівнює відношенню протилежного катета до прилеглого катета. Отже:

Використовуючи одиничне півколо та розглянену інформацію, визначимо синус, косинус і тангенс для 0 ° ; 90 ° ; 180 ° \(.\)

sin 0 ° = 0 ; cos 0 ° = 1 ; tg 0 ° = 0 sin 90 ° = 1 ; cos 90 ° = 0 ; tg 90 ° не існує sin 180 ° = 0 ; cos 180 ° = − 1 ; tg 180 ° = 0

Розглянемо обидва гострих кути в трикутнику \(AOX.\) Якщо разом вони утворюють 90 ° \(,\) то обидва виразимо через α \(:\)