Найбільш часто використовуваним методом Рунге-Кутта є класичний; він має вигляд для кожного кроку n = 0, 1, 2, … Він має глобальну помилку порядку ч4.
Метод Рунге-Кутта першого порядку це однокроковий чисельний метод, який базується на ідеї наближення розв’язку звичайного диференціального рівняння в певний момент часу за допомогою нахилу розв’язку в цей момент часу.
Загальний метод RK можна записати в такій формі: {u[n+1]=u[n]+ΔtF(tn,u[n])F(tn,u[n])=s∑i=1biKiKi=f(tn+ciΔt,u[n]+Δts ∑j=1aijKj). Кажуть, що метод має порядок p, якщо локальна помилка усікання має порядок p+1: E(Δt)=|yexact(t+Δt)−ynumeric(t+Δt)|∼O(Δtp+1).
Метод Рунге-Кутта порядку 5 з 6 етапами вимагає знаходження матриці A, коефіцієнти якої повинні задовольняти систему нелінійних поліноміальних рівнянь. Батчер знайшов 5-параметричне сімейство рішень, яке відображає різні характеристики залежно від b2=0 чи b2,0.
Найбільш часто використовуваним методом є метод Рунге-Кутта четвертого порядку. x(1) = 1, використовуючи другий і четвертий порядок Рунге-Кутта з розміром кроку h = 1. yi+1 = yi + h 2 (k1 + k2), де k1 = f(xi,ti), k2 = f(xi + h, ti + hk1).
Одним із найбільш широко використовуваних методів вирішення IVP є методика Рунге-Кутта четвертого порядку (RK4). LTE цього методу є порядок h5. Спосіб наведено нижче. yn+1 = yn + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)/6.