Визначення інтегрованого зазвичай вимагає, щоб f було обмеженим. Думаю, вас запитують, що якщо f не обмежене, воно не може бути інтегрованим із вашим визначенням. 1 червня 2014 р.
Знову ж таки, оскільки ϕ неперервний на компакті [−M,M], він має бути обмеженим на [−M,M]. Отже, існує постійна Mϕ така, що |ϕ(y)| ≤ Mϕ для всіх |y| ≤ М. (1) Якщо α строго зростає, то ми знаємо, що інтегровність передбачає обмеженість.
Кожна обмежена кусково-неперервна функція інтегровна. Якщо f визначено та обмежено (−M≤f(x)≤M для всіх x в [a,b] та неперервно, за винятком скінченної кількості точок у [a,b], тоді limmesh→0(∑nk=1f (ck)Δxk) завжди те саме скінченне число, ∫baf(x)dx, тому f є інтегровною на [a,b].
Отже, неможливо довести, що кожна проста функція інтегровна за Ріманом. Зверніть увагу, що f(x) не є безперервним у жодній точці [0,1], але що f=0 майже скрізь. Обмежені функції на [0,1] інтегровні за Ріманом тоді і тільки тоді, коли вони неперервні майже всюди. Це f називається функцією Діріхле.
Вимірні функції, які є обмеженими, еквівалентні інтегровним функціям Лебега. Якщо f є обмеженою функцією, визначеною на вимірній множині E зі скінченною мірою. Тоді f вимірна тоді і тільки тоді, коли f інтегровна за Лебегом.
Так, щоб інтеграли були локально інтегровними, вони повинні бути скінченними. Один із способів побачити, що f є локально інтегровною, полягає в тому, що f(x)≥0, і ми можемо використати p-тест для збіжності з числення, наприклад, щоб показати, що ∫Af(x)dx<∞ для будь-якої обмеженої множини A⊂ R, який містить 0.